Die Firma ist nur der Name eines im Handelsregister eingetragenen Kaufmanns. Kaufmann kann nach HGB (Handelsgesetzbuch) eine natürliche Person (Mensch), ein Personenzusammenschluss (Personenhandelsgesellschaft) oder eine juristische Person sein.
Natürliche Personen (Einzelunternehmen) haben den Zusatz zur Firma "e.K." (oder "e.Kfm." oder änliches) für eingetragener Kaufmann / eingetragene Kauffrau.
Personenzusammenschlüsse haben den Zusatz zur Firma "oHG" (offene Handelsgesellschaft) oder "KG" (Kommanditgesellschaft). Die GbR (Gesellschaft bürgerlichen Rechts) ist niemals Kaufmann, dann wäre es nämlich eine oHG!
Die juristischen Personen haben z. B. den Zusatz zur Firma "GmbH" (Gesellschaft mit beschränkter Haftung) oder "AG" (Aktiengesellschaft). Es gibt aber noch weitere solcher juristischen Personen, die Kaufmann sind. Der Verein (e.V.) oder die Genossenschaft (e.G.) sind ebenfalls häufig.
Also Vereine sind immer juristische Personen, die Bezeichnung "Firma" ist lediglich der Name und sagt nichts über die Rechtsform (z. B. Einzelunternehmen oder GmbH) aus.
Vereine sind meist nicht eigennützig. D. h. sie dürfen keinen Gewinn erwirtschaften, oder zumindest nicht nach einem solchen streben. Davon gibt es aber auch seltene Ausnahmen. Während die Ausnahmen wie "normale Unternehmen" steuerlich behandelt werden, werden Vereine in der Regel steuerlich begünstigt. Die einzelnen Begünstigungen aufzuführen sprengt aber hier den Rahmen und wäre eine eigene Frage wert (Ist auch nicht ganz so einfach zu verstehen, wenn man mit Steuern sonst nichts zu tun hat).
Somit abschließend zu Deiner Frage: Die Gründung eines Vereins empfiehlt sich grundsätzlich dann, wenn man in erster Linie keine eigenen wirtschaftlichen Interessen verfolgen will. Ansonsten ist die Gründung eines anderen Unternehmens sinnvoller. Die Rechtsform hängt dann vom Einzellfall ab.